相続された方に納税していただきます。

　町県民税は毎年１月１日（賦課期日）現在で住所のある人に対して、前年１月から１２月までの所得に基づいて、その年度の課税が決定されます。

　したがって、年の途中で死亡された場合でもその年度分は納めていただかなければなりません。 

　つまり、お父さんの町県民税は相続される人が、その納税義務を引き継ぐことになり残りの税額を納めていただくことになります。